Математический анализ Примеры

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в точке $0$ и запишем в виде суммы пределов.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 2.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

Этап 2.3

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 7

Объединим $e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $e^{u}$ в $1$ и в $1 - t^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 8.2

Упростим.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Этап 9

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 9.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 9.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 9.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 9.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 9.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 9.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 9.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 9.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 9.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 9.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Этап 9.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Этап 9.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 10.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

Этап 13

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

Этап 14

Объединим $e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

Этап 15

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем значение $e^{u}$ в $1 - t^{2}$ и в $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

Этап 15.2

Упростим.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Этап 16

Вычислим пределы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Этап 16.1.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Этап 16.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Этап 16.1.4

Найдем предел $e$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Этап 16.2

Поскольку показатель степени $1 - t^{2}$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{1 - t^{2}}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Этап 16.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Этап 16.3.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

Этап 16.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

Этап 16.4

Поскольку показатель степени $1 - t^{2}$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{1 - t^{2}}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

Этап 16.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Найдем предел $e$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

Этап 16.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.2.1.1

Вычтем $0$ из $e$ .

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

Этап 16.5.2.1.2

Объединим $e$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

Этап 16.5.2.1.3

Вычтем $e$ из $0$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

Этап 16.5.2.1.4

Умножим $- \frac{1}{2} (- e)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Этап 16.5.2.1.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

Этап 16.5.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

Этап 16.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- e + e}{2}$

Этап 16.5.2.3

Добавим $- e$ и $e$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 16.5.2.4

Разделим $0$ на $2$ .

$0$