Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 24$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 24 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 24 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2} - 4 x - 8$ на $1$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.3

Добавим $16$ и $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.3

Добавим $16$ и $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{3}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.3

Добавим $16$ и $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.8.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Этап 2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Этап 2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$ .

$2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}) \cup (2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3}) \cup (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.4641017$ .

$f' (- 2.4641017) = 3 {(- 2.4641017)}^{2} - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.4641017$ в степень $2$ .

$f' (- 2.4641017) = 3 \cdot 6.07179718 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $6.07179718$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 12$ на $- 2.4641017$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 + 29.5692204 - 24$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $18.21539156$ и $29.5692204$ .

$f' (- 2.4641017) = 47.78461196 - 24$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $24$ из $47.78461196$ .

$f' (- 2.4641017) = 23.78461196$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $23.78461196$ .

$23.78461196$

Этап 5.3

При $x = - 2.4641017$ производная имеет вид $23.78461196$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.00000015$ .

$f' (2.00000015) = 3 {(2.00000015)}^{2} - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $2.00000015$ в степень $2$ .

$f' (2.00000015) = 3 \cdot 4.0000006 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $4.0000006$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 12$ на $2.00000015$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 24.0000018 - 24$

Этап 6.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $24.0000018$ из $12.0000018$ .

$f' (2.00000015) = - 12 - 24$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $24$ из $- 12$ .

$f' (2.00000015) = - 36$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 36$ .

$- 36$

Этап 6.3

При $x = 2.00000015$ производная имеет вид $- 36$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6.464102$ .

$f' (6.464102) = 3 {(6.464102)}^{2} - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $6.464102$ в степень $2$ .

$f' (6.464102) = 3 \cdot 41.78461466 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $41.78461466$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 12$ на $6.464102$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 77.569224 - 24$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $77.569224$ из $125.35384399$ .

$f' (6.464102) = 47.78461999 - 24$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $24$ из $47.78461999$ .

$f' (6.464102) = 23.78461999$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $23.78461999$ .

$23.78461999$

Этап 7.3

При $x = 6.464102$ производная имеет вид $23.78461999$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}), (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Убывание на: $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$

Этап 9