Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{3} - 3 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 3$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} - 3$ .

$- 3 x^{2} - 3$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} - 3 = 0$

Этап 2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x^{2} = 3$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = 3$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = 3$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{- 3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $3$ на $- 3$ .

$x^{2} = - 1$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.5

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Нет точек, в которых производная $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ была бы равна $0$ или не определена. $f (x) = - x^{3} - 3 x$ проверяется на возрастание или убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число, например $1$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в производную $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ , чтобы проверить, является результат отрицательным или положительным. Если результат отрицательный, график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ . Если результат положительный, график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 3$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 3$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 - 3$

Этап 5.2.2

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$f' (1) = - 6$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 6

Результат подстановки $1$ в $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ равен $- 6$ и является отрицательным, поэтому график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Убывание на $(- \infty, \infty)$

Этап 7

Убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ означает, что функция постоянно убывает.

Всегда убывающие

Этап 8