Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x - 4}{x - 8}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $x - 8$ на $1$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 8 - x - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x - 8 - x - - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 - 8 - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Вычтем $8$ из $0$ .

$\frac{- 8 - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 8 + 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.3

Добавим $- 8$ и $4$ .

$\frac{- 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $4 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{x - 4}{x - 8}$ в интервале $(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$ .

$(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 8)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = - \frac{4}{{((7) - 8)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $8$ из $7$ .

$f' (7) = - \frac{4}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (7) = - \frac{4}{1}$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим $4$ на $1$ .

$f' (7) = - 1 \cdot 4$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (7) = - 4$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 6.3

При $x = 7$ производная имеет вид $- 4$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 8)$ .

Убывание на $(- \infty, 8)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(8, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f' (9) = - \frac{4}{{((9) - 8)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вычтем $8$ из $9$ .

$f' (9) = - \frac{4}{1^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (9) = - \frac{4}{1}$

Этап 7.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим $4$ на $1$ .

$f' (9) = - 1 \cdot 4$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (9) = - 4$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 7.3

При $x = 9$ производная имеет вид $- 4$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(8, \infty)$ .

Убывание на $(8, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 8), (8, \infty)$

Этап 9