Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $x^{2} + 3$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.9

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - 1, 3$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $4$ и $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{5}{49}$ .

$- \frac{5}{49}$

Этап 5.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- \frac{5}{49}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

Этап 6.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 6.3

При $x = 1$ производная имеет вид $\frac{1}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1, 3)$ .

Возрастание в области $(- 1, 3)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Добавим $4$ и $1$ .

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $16$ и $3$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $19$ в степень $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

Этап 7.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{5}{361}$ .

$- \frac{5}{361}$

Этап 7.3

При $x = 4$ производная имеет вид $- \frac{5}{361}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(3, \infty)$ .

Убывание на $(3, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 1, 3)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Этап 9