Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x - 9}{4 x + 5}$ , $x = 2$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 9$ и $g (x) = 4 x + 5$ .

$\frac{(4 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(4 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(4 x + 5) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $3$ влево от $4 x + 5$ .

$\frac{3 \cdot (4 x + 5) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $4 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 + 0)}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) \cdot 4}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 2.12.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x - 9)}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x - 9)}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 x + 3 \cdot 5 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{12 x + 15 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{12 x + 15 - 12 x - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$\frac{12 x + 15 - 12 x + 36}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $12 x + 15 - 12 x + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $12 x$ из $12 x$ .

$\frac{0 + 15 + 36}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $0$ и $15$ .

$\frac{15 + 36}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $15$ и $36$ .

$\frac{51}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Этап 4

Найдем производную в $x = 2$ .

$\frac{51}{{(4 (2) + 5)}^{2}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{51}{{(8 + 5)}^{2}}$

Этап 5.2

Добавим $8$ и $5$ .

$\frac{51}{13^{2}}$

Этап 5.3

Возведем $13$ в степень $2$ .

$\frac{51}{169}$