Математический анализ Примеры

$y = (3 x^{2} - 5 x + 1) (2 - 3 x - x^{2})$ , $x = 4$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 1$ и $g (x) = 2 - 3 x - x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 - 3 x - x^{2}] + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 - 3 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - (2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $3$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.14

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.16

Умножим $- 5$ на $1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.17

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + 0)$

Этап 2.18

Добавим $6 x - 5$ и $0$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)$ .

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ .

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$ .

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

Этап 3.2

Умножим $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ на $1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- 3 (3 x^{2}) - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 9 x^{2} - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{2 + 1} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.6

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.8.1

Перенесем $x$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.9

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.2.10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.3

Добавим $- 9 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.4

Вычтем $2 x$ из $15 x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Этап 3.4.5

Развернем $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.4.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.5

Умножим $- 3$ на $6$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.6

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{2} x - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.8.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.9

Умножим $- 1$ на $6$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

Этап 3.4.6.10

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

Этап 3.4.7

Добавим $12 x$ и $15 x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 18 x^{2} - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

Этап 3.4.8

Добавим $- 18 x^{2}$ и $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3} - 13 x^{2}$

Этап 3.5

Вычтем $13 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 12 x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3}$

Этап 3.6

Добавим $13 x$ и $27 x$ .

$- 12 x^{2} + 40 x - 3 - 6 x^{3} - 10 - 6 x^{3}$

Этап 3.7

Вычтем $10$ из $- 3$ .

$- 12 x^{2} + 40 x - 6 x^{3} - 13 - 6 x^{3}$

Этап 3.8

Вычтем $6 x^{3}$ из $- 6 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} + 40 x - 12 x^{3} - 13$

Этап 4

Найдем производную в $x = 4$ .

$- 12 {(4)}^{2} + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- 12 \cdot 16 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

Этап 5.1.2

Умножим $- 12$ на $16$ .

$- 192 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

Этап 5.1.3

Умножим $40$ на $4$ .

$- 192 + 160 - 12 {(4)}^{3} - 13$

Этап 5.1.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- 192 + 160 - 12 \cdot 64 - 13$

Этап 5.1.5

Умножим $- 12$ на $64$ .

$- 192 + 160 - 768 - 13$

Этап 5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $- 192$ и $160$ .

$- 32 - 768 - 13$

Этап 5.2.2

Вычтем $768$ из $- 32$ .

$- 800 - 13$

Этап 5.2.3

Вычтем $13$ из $- 800$ .

$- 813$