Математический анализ Примеры

$y = - \frac{\frac{x^{- \frac{26}{9}}}{x^{\frac{1}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}$ , $x = 8$

Этап 1

Перенесем $x^{- \frac{26}{9}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{26}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Этап 2

Умножим $x^{\frac{1}{9}}$ на $x^{\frac{26}{9}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{9} + \frac{26}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{1 + 26}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Этап 2.3

Добавим $1$ и $26$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{27}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Этап 2.4

Разделим $27$ на $9$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Этап 3

Умножим $\frac{\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}$ на $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9})]$

Этап 4

Объединим.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} (\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 6

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 7

Умножим $x^{3}$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $x^{- 3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{- 3} x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{- 3 + 3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 7.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{0} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 8

Упростим $x^{0} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}))$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 9

Умножим $x^{3}$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем $x^{- 3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{- 3} x^{3} \cdot 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{- 3 + 3} \cdot 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 9.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{0} \cdot 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим $x^{0} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 10.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{x^{3} \cdot 9}]$

Этап 10.3

Перенесем $9$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{9 \cdot x^{3}}]$

Этап 11

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1) - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{9 x^{3}}]$

Этап 12

Вынесем множитель $3$ из $- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1) + 3 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{9 x^{3}}]$

Этап 13

Вынесем множитель $3$ из $3 (1) + 3 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{9 x^{3}}]$

Этап 14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{3 (3 x^{3})}]$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{3 (3 x^{3})}]$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{3 x^{3}}]$

Этап 15

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{3 x^{3}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{x^{3}}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{x^{3}}]$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ и $g (x) = x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 17

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 17.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 17.2

По правилу суммы производная $1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 17.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 17.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 17.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{9}})]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{9}})]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 18

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}])) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 18.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}])) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 18.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 (\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}])) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 19

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}}$ и $- 6$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (\frac{- 6}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 19.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{6}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 19.3

Объединим $x^{3}$ и $\frac{6}{x^{\frac{1}{9}}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{x^{3} \cdot 6}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 19.4

Перенесем $6$ влево от $x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{6 \cdot x^{3}}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 20

Перенесем $x^{\frac{1}{9}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{3} x^{- \frac{1}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 21

Умножим $x^{3}$ на $x^{- \frac{1}{9}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 (x^{- \frac{1}{9}} x^{3})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 21.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{- \frac{1}{9} + 3}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 21.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{- \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 21.4

Объединим $3$ и $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{- \frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 21.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 9}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 21.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.6.1

Умножим $3$ на $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{\frac{- 1 + 27}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 21.6.2

Добавим $- 1$ и $27$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{\frac{26}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 22

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 23

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 24

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 25

Объединим $- 1$ и $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 26

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 27.2

Вычтем $9$ из $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 28

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 29

Объединим $\frac{1}{9}$ и $x^{- \frac{8}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} \frac{x^{- \frac{8}{9}}}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 30

Объединим $- 6$ и $\frac{x^{- \frac{8}{9}}}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{26}{9}} \frac{- 6 x^{- \frac{8}{9}}}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 31

Объединим $x^{\frac{26}{9}}$ и $\frac{- 6 x^{- \frac{8}{9}}}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{26}{9}} (- 6 x^{- \frac{8}{9}})}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 32

Умножим $x^{\frac{26}{9}}$ на $x^{- \frac{8}{9}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1

Перенесем $x^{- \frac{8}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{- \frac{8}{9}} x^{\frac{26}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 32.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{- \frac{8}{9} + \frac{26}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 32.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{- 8 + 26}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 32.4

Добавим $- 8$ и $26$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{18}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 32.5

Разделим $18$ на $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{2} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 33

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.1

Перенесем $- 6$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 6 \cdot x^{2}}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 33.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 (- 2 x^{2})}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 33.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (3)} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 33.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 33.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 2 x^{2}}{3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 33.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 34

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 35

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 36

Чтобы записать $- 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{x^{6}}$

Этап 37

Объединим $- 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{- 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2} \cdot 3}{3}}{x^{6}}$

Этап 38

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2} \cdot 3}{3}}{x^{6}}$

Этап 39

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3}}{x^{6}}$

Этап 40

Перепишем $\frac{\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3}}{x^{6}}$ в виде произведения.

$- \frac{1}{3} (\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{x^{6}})$

Этап 41

Умножим $\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3}$ на $\frac{1}{x^{6}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3 x^{6}}$

Этап 42

Умножим $\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3 x^{6}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3 x^{6} \cdot 3}$

Этап 43

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{- 2 x^{2} + (- 9 \cdot 1 - 9 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 \cdot 1 x^{2} - 9 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.3.1.1

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.2

Упростим $- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ путем переноса $6$ под логарифм.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln ({(x^{\frac{1}{9}})}^{6})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{9}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.3.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{9} \cdot 6})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 6})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 2)})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 2)})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3} \cdot 2})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{2}{3}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.4

Умножим $- 9 (- \ln (x^{\frac{2}{3}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + 9 \ln (x^{\frac{2}{3}}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.4.2

Упростим $9 \ln (x^{\frac{2}{3}})$ путем переноса $9$ под логарифм.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln ({(x^{\frac{2}{3}})}^{9}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.3.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{\frac{2}{3} \cdot 9}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.3.1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{\frac{2}{3} \cdot (3 (3))}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3)}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{2 \cdot 3}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.1.5.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{6}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.2

Вычтем $9 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{- 11 x^{2} + \ln (x^{6}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Этап 44.3.3

Изменим порядок множителей в $- 11 x^{2} + \ln (x^{6}) x^{2}$ .

$- \frac{- 11 x^{2} + x^{2} \ln (x^{6})}{9 x^{6}}$

Этап 44.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 11 x^{2} + x^{2} \ln (x^{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 11 x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot - 11 + x^{2} \ln (x^{6})}{9 x^{6}}$

Этап 44.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \ln (x^{6})$ .

$- \frac{x^{2} \cdot - 11 + x^{2} (\ln (x^{6}))}{9 x^{6}}$

Этап 44.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot - 11 + x^{2} (\ln (x^{6}))$ .

$- \frac{x^{2} (- 11 + \ln (x^{6}))}{9 x^{6}}$

Этап 44.5

Развернем $\ln (x^{6})$ , вынося $6$ из логарифма.

$- \frac{x^{2} (- 11 + 6 \ln (x))}{9 x^{6}}$

Этап 44.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.6.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (- 11 + 6 \ln (x))}{x^{2} (9 x^{4})}$

Этап 44.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2} (- 11 + 6 \ln (x))}{x^{2} (9 x^{4})}$

Этап 44.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 11 + 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Этап 44.7

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$- \frac{- 1 (11) + 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Этап 44.8

Вынесем множитель $- 1$ из $6 \ln (x)$ .

$- \frac{- 1 (11) - (- 6 \ln (x))}{9 x^{4}}$

Этап 44.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (11) - (- 6 \ln (x))$ .

$- \frac{- 1 (11 - 6 \ln (x))}{9 x^{4}}$

Этап 44.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Этап 44.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Этап 44.12

Умножим $\frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$ на $1$ .

$\frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Этап 45

Найдем производную в $x = 8$ .

$\frac{11 - 6 \ln (8)}{9 {(8)}^{4}}$

Этап 46

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 46.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 46.1.1

Упростим $- 6 \ln (8)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\frac{11 - \ln (8^{6})}{9 \cdot 8^{4}}$

Этап 46.1.2

Возведем $8$ в степень $6$ .

$\frac{11 - \ln (262144)}{9 \cdot 8^{4}}$

Этап 46.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 46.2.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{11 - \ln (262144)}{9 \cdot 4096}$

Этап 46.2.2

Умножим $9$ на $4096$ .

$\frac{11 - \ln (262144)}{36864}$