Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{3 x - 5}$ , $x = 1$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{3 x - 5}$ в виде ${(3 x - 5)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 3 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 5$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + 0)$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \cdot 3$

Этап 3.6.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 {(3 x - 5)}^{- 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Этап 5

Найдем производную в $x = 1$ .

$- \frac{3}{{(3 (1) - 5)}^{2}}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{3}{{(3 - 5)}^{2}}$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из $3$ .

$- \frac{3}{{(- 2)}^{2}}$

Этап 6.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{3}{4}$