Математический анализ Примеры

$y = {(2 x + 1)}^{x}$ , $x = 1$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(2 x + 1)}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(2 x + 1)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (2 x + 1)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x \ln (2 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x \ln (2 x + 1)$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x + 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2 x + 1}$ и $x$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.5

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.7.2

Объединим $\frac{x}{2 x + 1}$ и $2$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.7.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1)$

Этап 5.9

Умножим $\ln (2 x + 1)$ на $1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1))$

Этап 6

Чтобы записать $\ln (2 x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Этап 8

Объединим $e^{x \ln (2 x + 1)}$ и $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ .

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

Этап 9.1.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

Этап 9.1.1.3

Умножим $\ln (2 x + 1)$ на $1$ .

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Этап 9.1.1.4

Упростим $2 \ln (2 x + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Этап 9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x) + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Этап 9.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Этап 9.1.4

Изменим порядок множителей в $2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x e^{x \ln (2 x + 1)} + x e^{x \ln (2 x + 1)} \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Этап 9.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Этап 10

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{2 e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Упростим $1 \ln (2 (1) + 1)$ путем переноса $1$ под логарифм.

$\frac{2 e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{2 {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \cdot 3^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \cdot 3 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.6

Умножим $2 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.6.2

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{6 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.7

Упростим $1 \ln (2 (1) + 1)$ путем переноса $1$ под логарифм.

$\frac{6 + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.8

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{6 + {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.9

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{6 + {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.10

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{6 + 3^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.11

Найдем экспоненту.

$\frac{6 + 3 \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.12

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.13

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.14

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{6 + 3 \ln (3^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.15

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{6 + 3 \ln (9) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.16

Упростим $3 \ln (9)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{6 + \ln (9^{3}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.17

Возведем $9$ в степень $3$ .

$\frac{6 + \ln (729) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.18

Упростим $1 \ln (2 (1) + 1)$ путем переноса $1$ под логарифм.

$\frac{6 + \ln (729) + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.19

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 (1) + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.20

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.21

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + 3^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.22

Найдем экспоненту.

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.23

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 + 1)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.24

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (3)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.25

Упростим $3 \ln (3)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (3^{3})}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.26

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (27)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.27

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{6 + \ln (729 \cdot 27)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.1.28

Умножим $729$ на $27$ .

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 (1) + 1}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 + 1}$

Этап 11.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{6 + \ln (19683)}{3}$