Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{3 + 5 x}$ , $x = 0$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 + 5 x}$ в виде ${(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 3 + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 + 5 x$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 7.3

Перенесем ${(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Этап 8

По правилу суммы производная $3 + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Объединим $5$ и $\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 14

Умножим $\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15

Найдем производную в $x = 0$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 (0))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 0)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{5}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}$