Математический анализ Примеры

$V = \cos (102 t) \sin (201 t)$ , $t = 4$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = \cos (102 t)$ и $g (t) = \sin (201 t)$ .

$\cos (102 t) \frac{d}{d t} [\sin (201 t)] + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = 201 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $201 t$ .

$\cos (102 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (102 t) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $201 t$ .

$\cos (102 t) (\cos (201 t) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $201$ является константой относительно $t$ , производная $201 t$ по $t$ равна $201 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \frac{d}{d t} [t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \cdot 1) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $201$ на $1$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) \cdot 201 + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Этап 3.3.2

Перенесем $201$ влево от $\cos (102 t) \cos (201 t)$ .

$201 \cdot (\cos (102 t) \cos (201 t)) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $102 t$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [102 t])$

Этап 4.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [102 t])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $102 t$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) \frac{d}{d t} [102 t])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $102$ является константой относительно $t$ , производная $102 t$ по $t$ равна $102 \frac{d}{d t} [t]$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) (102 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.2

Умножим $102$ на $- 1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \cdot 1)$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 102$ на $1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t))$

Этап 5.4.2

Изменим порядок членов.

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) - 102 \sin (102 t) \sin (201 t)$

Этап 6

Найдем производную в $t = 4$ .

$201 \cos (102 (4)) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $102$ на $4$ .

$201 \cos (408) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$201 \cos (48) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.3

Найдем значение $\cos (48)$ .

$201 \cdot 0.6691306 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.4

Умножим $201$ на $0.6691306$ .

$134.49525187 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.5

Умножим $201$ на $4$ .

$134.49525187 \cos (804) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.6

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$134.49525187 \cos (84) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.7

Найдем значение $\cos (84)$ .

$134.49525187 \cdot 0.10452846 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.8

Умножим $134.49525187$ на $0.10452846$ .

$14.05858199 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.9

Умножим $102$ на $4$ .

$14.05858199 - 102 \sin (408) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.10

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 102 \sin (48) \sin (201 (4))$

Этап 7.1.11

Найдем значение $\sin (48)$ .

$14.05858199 - 102 \cdot 0.74314482 \sin (201 (4))$

Этап 7.1.12

Умножим $- 102$ на $0.74314482$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (201 (4))$

Этап 7.1.13

Умножим $201$ на $4$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (804)$

Этап 7.1.14

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (84)$

Этап 7.1.15

Найдем значение $\sin (84)$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \cdot 0.99452189$

Этап 7.1.16

Умножим $- 75.80077219$ на $0.99452189$ .

$14.05858199 - 75.38552763$

Этап 7.2

Вычтем $75.38552763$ из $14.05858199$ .

$- 61.32694564$