Математический анализ Примеры

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

Этап 1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Этап 9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Этап 13.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Этап 14

Найдем производную в $x = \frac{π}{3}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.3.5

Найдем экспоненту.

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.5.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.5.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.6

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 15.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 15.1.8

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 15.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

Этап 15.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

Этап 15.1.11

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.11.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

Этап 15.1.11.2

Сократим общий множитель.

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

Этап 15.1.11.3

Перепишем это выражение.

$- 6 + 2$

Этап 15.2

Добавим $- 6$ и $2$ .

$- 4$