Математический анализ Примеры

$3$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{3}{16}$ , $\frac{3}{64}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{1}{4}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{1}{4}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 3$ и $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Этап 5

Единица в любой степени равна единице.

$a_{n} = 3 \frac{1}{4^{n - 1}}$

Этап 6

Объединим $3$ и $\frac{1}{4^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{3}{4^{n - 1}}$

Этап 7

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 8

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1^{4}}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9.2

Единица в любой степени равна единице.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9.3

Возведем $4$ в степень $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1 \cdot \frac{256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9.5

Объединим $- 1$ и $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Умножим $- 1$ на $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9.7.2

Вычтем $256$ из $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{- 255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 10.2

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Этап 10.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 4}{4}}$

Этап 10.4.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{- 3}{4}}$

Этап 10.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{- \frac{3}{4}}$

Этап 11

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{3}{4}}$

Этап 12

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Этап 13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $3$ из $255$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 (85)}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 \cdot 85}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{256} \cdot 4)$

Этап 14

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 (64)} \cdot 4)$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 \cdot 64} \cdot 4)$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{85}{64}$

Этап 15

Умножим $3 (\frac{85}{64})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $3$ и $\frac{85}{64}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 85}{64}$

Этап 15.2

Умножим $3$ на $85$ .

$S_{4} = \frac{255}{64}$