Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x + 2 - \sin (x)$ , $0 < x < 3 π$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $5 x + 2 - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 + 0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.1.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$5 + 0 - \cos (x)$

Этап 1.1.1.5

Добавим $5$ и $0$ .

$f' (x) = 5 - \cos (x)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 - \cos (x)$ .

$5 - \cos (x)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 - \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 - \cos (x) = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (x) = - 5$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$\cos (x) = 5$

Этап 1.2.4

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $5$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 2

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Нет абсолютного максимума

Нет абсолютного минимума

Этап 4