Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.2

Умножим $x^{2} - x + 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.9

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2.1.4

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Добавим $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 1.2.3.2

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.3.3

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 1.2.3.3.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 1.2.3.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.3.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 1.2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + x) (1 - x) = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

Этап 1.4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

Этап 1.4.1.2.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1}{2 + 1}$

Этап 1.4.1.2.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Этап 1.4.1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

Этап 1.4.2.2.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Этап 1.4.2.2.1.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 1.4.2.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(1, 1)$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Этап 3.1.2.1.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Этап 3.1.2.1.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

Этап 3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{3}{6 + 1}$

Этап 3.2.2.4

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{3}{7}$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(1, 1)$

Абсолютный минимум: $(0, 0)$

Этап 5