Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 9}$ , $[- 4, 4]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{x^{2} + 9}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 9$ .

$4 \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Умножим $x^{2} + 9$ на $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 \frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.9

Объединим $4$ и $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.1.10.2.2

Умножим $4$ на $9$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 4 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 4 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 4 x^{2} + 36 = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{2} = - 36$

Этап 1.2.3.2

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 36$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 36$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 36}{- 4}$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 36}{- 4}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 4}$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Разделим $- 36$ на $- 4$ .

$x^{2} = 9$

Этап 1.2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 1.2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 1.2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 1.2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 1.2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\frac{4 x}{x^{2} + 9}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$\frac{4 (3)}{{(3)}^{2} + 9}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{3^{2} + 9}$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{12}{9 + 9}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Добавим $9$ и $9$ .

$\frac{12}{18}$

Этап 1.4.1.2.3

Сократим общий множитель $12$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\frac{6 (2)}{18}$

Этап 1.4.1.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 3}$

Этап 1.4.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 3}$

Этап 1.4.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$\frac{4 (- 3)}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{- 12}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Этап 1.4.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{- 12}{9 + 9}$

Этап 1.4.2.2.2.2

Добавим $9$ и $9$ .

$\frac{- 12}{18}$

Этап 1.4.2.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 12$ .

$\frac{6 (- 2)}{18}$

Этап 1.4.2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$\frac{6 \cdot - 2}{6 \cdot 3}$

Этап 1.4.2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot - 2}{6 \cdot 3}$

Этап 1.4.2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{3}$

Этап 1.4.2.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3}$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(3, \frac{2}{3}), (- 3, - \frac{2}{3})$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

$\frac{4 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 9}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\frac{- 16}{{(- 4)}^{2} + 9}$

Этап 2.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{- 16}{16 + 9}$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $16$ и $9$ .

$\frac{- 16}{25}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{25}$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$\frac{4 (4)}{{(4)}^{2} + 9}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16}{4^{2} + 9}$

Этап 2.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{16 + 9}$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим $16$ и $9$ .

$\frac{16}{25}$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 4, - \frac{16}{25}), (4, \frac{16}{25})$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(3, \frac{2}{3})$

Абсолютный минимум: $(- 3, - \frac{2}{3})$

Этап 4