Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{9}{x - 1}$ , $[1, 4]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{x - 1}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

Этап 1.1.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$9 (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.1.1.3.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 1.1.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 1.1.1.3.5.2

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2}$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$9 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $9 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.4

Вычислим $\frac{9}{x - 1}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{9}{0}$

Этап 1.4.1.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 1.5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{9}{0}$

Этап 2.1.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$\frac{9}{(4) - 1}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{9}{3}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $9$ на $3$ .

$3$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(4, 3)$

Этап 3

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Нет абсолютного максимума

Абсолютный минимум: $(4, 3)$

Этап 5