Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 36$ и $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.3

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 36$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.7

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.1

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.1.1

Вычтем $2 x^{2} x$ из $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.1.2

Добавим $2 \cdot 36 x$ и $0$ .

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.2.1

Умножим $2$ на $36$ .

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.2.2

Умножим $- 2$ на $- 36$ .

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.3

Добавим $72 x$ и $72 x$ .

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$144 x = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $144 x = 0$ на $144$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $144 x = 0$ на $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $144$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

Этап 1.4.1.2.1.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{- 36}{0 + 36}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $36$ .

$\frac{- 36}{36}$

Этап 1.4.1.2.3

Разделим $- 36$ на $36$ .

$- 1$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, - 1)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 36$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 36)}^{2} - 36$ и ${(- 36)}^{2} + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

Этап 2.1.2.1.1.2

Перепишем $36$ в виде $- 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

Этап 2.1.2.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Этап 2.1.2.1.1.4

Вынесем множитель $- 36$ из ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Этап 2.1.2.1.1.5

Вынесем множитель $- 36$ из $- 36$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Этап 2.1.2.1.1.6

Вынесем множитель $- 36$ из $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Этап 2.1.2.1.1.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.7.1

Вынесем множитель $- 36$ из $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Этап 2.1.2.1.1.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Этап 2.1.2.1.1.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Этап 2.1.2.1.2

Добавим $- 36$ и $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Этап 2.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $36$ и $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

Этап 2.1.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $37$ .

$\frac{- 35}{- 37}$

Этап 2.1.2.3.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{35}{37}$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $36$ вместо $x$ .

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель ${(36)}^{2} - 36$ и ${(36)}^{2} + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из ${(36)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Этап 2.2.2.1.2

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Этап 2.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Этап 2.2.2.1.4

Вынесем множитель $36$ из $- 1 (- 36^{2} + 36)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

Этап 2.2.2.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.5.1

Вынесем множитель $36$ из $36^{2}$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

Этап 2.2.2.1.5.2

Вынесем множитель $36$ из $36$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

Этап 2.2.2.1.5.3

Вынесем множитель $36$ из $36 \cdot 36 + 36 (1)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Этап 2.2.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Этап 2.2.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

Этап 2.2.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим $- 1$ на $36$ .

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим $- 36$ и $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

Этап 2.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Добавим $36$ и $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

Этап 2.2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 35$ .

$\frac{35}{37}$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Абсолютный минимум: $(0, - 1)$

Этап 4