Математический анализ Примеры

$f (x) = 18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 12]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $2$ на $18$ .

$36 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{2} x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$36 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$36 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

Этап 1.1.1.3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{2}$ .

$36 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

Этап 1.1.1.3.5

Умножим $- 3$ на $3$ .

$36 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

Этап 1.1.1.3.6

Объединим $\frac{- 9}{2}$ и $x^{2}$ .

$36 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

Этап 1.1.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$36 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

Этап 1.1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$

Этап 1.2.2

Каждый член в $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим каждый член $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ на $2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9 x^{2}}{2}$ в числитель.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 9 x^{2} + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.2.2.1.2

Умножим $2$ на $36$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x^{2} + 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x \cdot x + 72 x = 0$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $- 9 x$ из $72 x$ .

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 8 = 0$

Этап 1.2.3.3

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x (x) - 9 x (- 8)$ .

$- 9 x (x - 8) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 9 x (x - 8) = 0$ верно.

$x = 0, 8$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Этап 1.4.1.2.1.2

Умножим $18$ на $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Этап 1.4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Этап 1.4.1.2.1.4

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Этап 1.4.1.2.1.4.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $8$ вместо $x$ .

$18 {(8)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$18 \cdot 64 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Умножим $18$ на $64$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Этап 1.4.2.2.1.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot 512$

Этап 1.4.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot 512$

Этап 1.4.2.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $512$ .

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (256))$

Этап 1.4.2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 256)$

Этап 1.4.2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$1152 - 3 \cdot 256$

Этап 1.4.2.2.1.5

Умножим $- 3$ на $256$ .

$1152 - 768$

Этап 1.4.2.2.2

Вычтем $768$ из $1152$ .

$384$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (8, 384)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $18$ на $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Этап 2.1.2.1.4

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Этап 2.1.2.1.4.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Этап 2.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $12$ вместо $x$ .

$18 {(12)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$18 \cdot 144 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $18$ на $144$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Этап 2.2.2.1.3

Возведем $12$ в степень $3$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot 1728$

Этап 2.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot 1728$

Этап 2.2.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $1728$ .

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (864))$

Этап 2.2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 864)$

Этап 2.2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$2592 - 3 \cdot 864$

Этап 2.2.2.1.5

Умножим $- 3$ на $864$ .

$2592 - 2592$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $2592$ из $2592$ .

$0$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (12, 0)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(8, 384)$

Абсолютный минимум: $(0, 0), (12, 0)$

Этап 4