Математический анализ Примеры

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x + e^{- 4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.1.2.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Этап 1.1.1.2.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Этап 1.1.1.2.5

Перенесем $- 4$ влево от $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $e^{- 4 x}$ на $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Этап 1.2.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 1.2.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Развернем $\ln (e^{- 4 x})$ , вынося $- 4 x$ из логарифма.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 1.2.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 1.2.5.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 1.2.6

Разделим каждый член $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Разделим каждый член $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Этап 1.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Этап 1.2.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Этап 1.2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $x + e^{- 4 x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ вместо $x$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ в виде $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Этап 1.4.1.2.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Этап 1.4.1.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Этап 1.4.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ в числитель.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Этап 1.4.1.2.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Этап 1.4.1.2.5.3

Сократим общий множитель.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Этап 1.4.1.2.5.4

Перепишем это выражение.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $\ln (\frac{1}{4})$ на $1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Этап 1.4.1.2.8

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

Этап 2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- 2 + e^{8}$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$3 + e^{- 12}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(- 2, - 2 + e^{8})$

Абсолютный минимум: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Этап 4