Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} = 16 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (16 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$16 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $16$ на $1$ .

$16$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 2 x = 16$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' = 16 - 2 x$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 y y' = 16 - 2 x$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 y y' = 16 - 2 x$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Этап 5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Этап 5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- x}{y}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $\frac{8}{y}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Этап 7.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$- x = - 8$

Этап 7.3

Разделим каждый член $- x = - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $- x = - 8$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 7.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x = 8$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$64 + y^{2} = 16 (8)$

Этап 8.2

Умножим $16$ на $8$ .

$64 + y^{2} = 128$

Этап 8.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = 128 - 64$

Этап 8.3.2

Вычтем $64$ из $128$ .

$y^{2} = 64$

Этап 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64}$

Этап 8.5

Упростим $\pm \sqrt{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2}}$

Этап 8.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 8$

Этап 8.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 8$

Этап 8.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 8$

Этап 8.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 8, - 8$

Этап 9

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(8, 8)$

$(8, - 8)$

Этап 10