Математический анализ Примеры

$10 \sin (x y) = 2 x + 3 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (10 \sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 \sin (x y)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$10 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$10 (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$10 \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.6

Умножим $y$ на $1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y)$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 \cos (x y) (x y') + 10 \cos (x y) y$

Этап 2.7.2

Изменим порядок членов.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x + 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 + 3 y'$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$3 y' + 2$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$ .

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Этап 5.2

Вычтем $3 y'$ из обеих частей уравнения.

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) - 3 y' = 2$

Этап 5.3

Вычтем $10 y \cos (x y)$ из обеих частей уравнения.

$10 x y' \cos (x y) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $10 x y' \cos (x y) - 3 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $10 x y' \cos (x y)$ .

$y' (10 x \cos (x y)) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y'$ .

$y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3 = 2 - 10 y \cos (x y)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3$ .

$y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ на $10 x \cos (x y) - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ на $10 x \cos (x y) - 3$ .

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $10 x \cos (x y) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} - \frac{10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Этап 5.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Этап 5.5.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 - 10 y \cos (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y' = \frac{2 (1) - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Этап 5.5.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10 y \cos (x y)$ .

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Этап 5.5.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))$ .

$y' = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Разделим каждый член $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.1.2.1.2

Разделим $1 - 5 y \cos (x y)$ на $1$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 y \cos (x y) = - 1$

Этап 7.2.3

Разделим каждый член $- 5 y \cos (x y) = - 1$ на $- 5 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим каждый член $- 5 y \cos (x y) = - 1$ на $- 5 y$ .

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Этап 7.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Этап 7.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Этап 7.2.3.2.2.2

Разделим $\cos (x y)$ на $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{- 5 y}$

Этап 7.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (x y) = \frac{1}{5 y}$

Этап 7.2.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$

Этап 7.2.5

Разделим каждый член $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Разделим каждый член $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ на $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Этап 7.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Этап 7.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $10 \sin ((\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$10 \sin (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y} y) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$10 \sin (\arccos (\frac{1}{5 y})) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.1.2

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.2.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ , $(\frac{1}{5 y}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (\frac{1}{5 y})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (\frac{1}{5 y}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}}$ .

$10 \sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.1.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$10 \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{(1 + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$10 \sqrt{(\frac{5 y}{5 y} + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (\frac{5 y}{5 y} - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} \cdot \frac{5 y - 1}{5 y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.3.5

Умножим $\frac{5 y + 1}{5 y}$ на $\frac{5 y - 1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{5 y (5 y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Умножим $5$ на $5$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y \cdot y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.4.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.4.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y^{1})}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{1 + 1}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.5

Перепишем $\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(5 y + 1) (5 y - 1)$ .

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.5.2

Вынесем полную степень ${(5 y)}^{2}$ из $25 y^{2}$ .

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}$ .

$10 \sqrt{{(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$10 (\frac{1}{5 y} \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.7

Объединим $\frac{1}{5 y}$ и $\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}$ .

$10 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.8

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.8.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.8.2

Вынесем множитель $5$ из $5 y$ .

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 (y)} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.8.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.8.4

Перепишем это выражение.

$2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.1.9

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Этап 8.2

Объединим $2$ и $\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = \frac{2 \arccos (\frac{1}{5 y})}{y} + 3 y$

Этап 8.3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$y \approx 0.24419009, 2.99063055$

Этап 9

Найдем $x$ , когда $y$ равен $0.24419009$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$

Этап 9.2

Упростим $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $5$ на $0.24419009$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{1.22095048})}{0.24419009}$

Этап 9.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим $1$ на $1.22095048$ .

$x = \frac{\arccos (0.81903403)}{0.24419009}$

Этап 9.2.2.2

Найдем значение $\arccos (0.81903403)$ .

$x = \frac{0.61107095}{0.24419009}$

Этап 9.2.3

Разделим $0.61107095$ на $0.24419009$ .

$x = 2.50243954$

Этап 10

Найдем $x$ , когда $y$ равен $2.99063055$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$

Этап 10.2

Упростим $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $5$ на $2.99063055$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{14.95315279})}{2.99063055}$

Этап 10.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим $1$ на $14.95315279$ .

$x = \frac{\arccos (0.06687552)}{2.99063055}$

Этап 10.2.2.2

Найдем значение $\arccos (0.06687552)$ .

$x = \frac{1.50387084}{2.99063055}$

Этап 10.2.3

Разделим $1.50387084$ на $2.99063055$ .

$x = 0.50286079$

Этап 11

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(2.50243954, 0.24419009)$

$(0.50286079, 2.99063055)$

Этап 12