Математический анализ Примеры

$y^{2} = x^{2} + y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' = 2 x + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' - y' = 2 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (2 y - 1) = 2 x$ на $2 y - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (2 y - 1) = 2 x$ на $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 x = 0$

Этап 7.2

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $0^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y^{2} = 0 + y$

Этап 8.1.2

Добавим $0$ и $y$ .

$y^{2} = y$

Этап 8.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y = 0$

Этап 8.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y \cdot y - y = 0$

Этап 8.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 1 = 0$

Этап 8.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$y (y - 1) = 0$

Этап 8.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$y - 1 = 0$

Этап 8.5

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 8.6

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

Этап 8.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

Этап 8.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $y (y - 1) = 0$ верно.

$y = 0, 1$

Этап 9

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(0, 1)$

Этап 10