Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} = 21 x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (21 x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 x y$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$21 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$21 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$21 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$21 (x y' + y)$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$21 x y' + 21 y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 21 x y' + 21 y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $21 x y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 21 x y' = 21 y$

Этап 5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 21 x y' = 21 y - 3 x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y' - 21 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 21 x y' = 21 y - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 21 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' y^{2} + 3 y' (- 7 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$ на $3 (y^{2} - 7 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$ на $3 (y^{2} - 7 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 7 x)}{3 (y^{2} - 7 x)} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (y^{2} - 7 x)}{3 (y^{2} - 7 x)} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} - 7 x)}{y^{2} - 7 x} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} - 7 x)}{y^{2} - 7 x} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $21$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $21 y$ .

$y' = \frac{3 (7 y)}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (7 y)}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Этап 5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{7 y - x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 y - x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$7 y - x^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $7 y$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 7 y$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 7 y$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 7 y$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 7 y}{- 1}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 7 y}{- 1}$

Этап 7.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7 y}{- 1}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 7 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 7 y)$

Этап 7.2.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (- 7 y)$ в виде $- (- 7 y)$ .

$x^{2} = - (- 7 y)$

Этап 7.2.2.3.3

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$x^{2} = 7 y$

Этап 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7 y}$

Этап 7.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{7 y}$

Этап 7.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{7 y}$

Этап 7.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем ${\sqrt{7 y}}^{3}$ в виде $\sqrt{{(7 y)}^{3}}$ .

$\sqrt{{(7 y)}^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.1.2

Применим правило умножения к $7 y$ .

$\sqrt{7^{3} y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.1.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\sqrt{343 y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.1.4

Перепишем $343 y^{3}$ в виде ${(7 y)}^{2} \cdot (7 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Вынесем множитель $49$ из $343$ .

$\sqrt{49 (7) y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.1.4.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} \cdot 7 y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.1.4.3

Вынесем $y^{2}$ за скобки.

$\sqrt{7^{2} \cdot 7 (y^{2} y)} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.1.4.4

Перенесем $7$ .

$\sqrt{7^{2} y^{2} \cdot 7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.1.4.5

Перепишем $7^{2} y^{2}$ в виде ${(7 y)}^{2}$ .

$\sqrt{{(7 y)}^{2} \cdot 7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.1.4.6

Добавим круглые скобки.

$\sqrt{{(7 y)}^{2} \cdot (7 y)} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$7 y \sqrt{7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 y}$ в виде ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 y {(7 y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Этап 8.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 y}$ в виде ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 y {(7 y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Применим правило умножения к $7 y$ .

$7 y (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.3

Умножим $7$ на $7^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Умножим $7$ на $7^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1.1

Возведем $7$ в степень $1$ .

$7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7^{1 + \frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$7^{\frac{2 + 1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.4

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.4.1

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ .

$7^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.4.2

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.4.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + 1} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1 + 2}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.4.4.5

Добавим $1$ и $2$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Этап 8.5

Упростим $21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим правило умножения к $7 y$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) y$

Этап 8.5.2

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Перенесем $y$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} (y \cdot y^{\frac{1}{2}}))$

Этап 8.5.2.2

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} (y^{1} y^{\frac{1}{2}}))$

Этап 8.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{1 + \frac{1}{2}})$

Этап 8.5.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Этап 8.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2 + 1}{2}})$

Этап 8.5.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}})$

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.6

Вычтем $21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}} = 0$

Этап 8.7

Найдем общий множитель $y^{\frac{3}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} {(y^{\frac{3}{2}})}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.8

Подставим $u$ вместо $y^{\frac{3}{2}}$ .

$7^{\frac{3}{2}} (u) {(u)}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Этап 8.9

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Упростим $7^{\frac{3}{2}} (u) {(u)}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1.1

Умножим $u$ на ${(u)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1.1.1

Перенесем ${(u)}^{2}$ .

$7^{\frac{3}{2}} ({(u)}^{2} u) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Этап 8.9.1.1.2

Умножим ${(u)}^{2}$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1.1.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} ({(u)}^{2} u^{1}) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Этап 8.9.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7^{\frac{3}{2}} u^{2 + 1} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Этап 8.9.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

$7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u = 0$

Этап 8.9.1.2

Изменим порядок множителей в $7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u$ .

$u^{3} \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 8.9.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.2.1

Вынесем множитель $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ из $u^{3} \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.2.1.1.1

Изменим порядок $u^{3}$ и $7^{\frac{3}{2}}$ .

$7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 8.9.2.1.1.2

Перенесем $u$ .

$7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} u) = 0$

Этап 8.9.2.1.2

Вынесем множитель $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ из $7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3}$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2})) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} u) = 0$

Этап 8.9.2.1.3

Вынесем множитель $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ из $- 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2})) + u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (- 21)) = 0$

Этап 8.9.2.1.4

Вынесем множитель $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ из $u \cdot 7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2}) + u \cdot 7^{\frac{1}{2}} (- 21)$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2} - 21)) = 0$

Этап 8.9.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 \cdot u^{2} - 21)) = 0$

Этап 8.9.2.3

Найдем экспоненту.

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 u^{2} - 21)) = 0$

Этап 8.9.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.2.4.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u^{2} - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.2.4.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u^{2}$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 (u^{2}) - 21)) = 0$

Этап 8.9.2.4.1.2

Вынесем множитель $7$ из $- 21$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 u^{2} + 7 \cdot - 3)) = 0$

Этап 8.9.2.4.1.3

Вынесем множитель $7$ из $7 u^{2} + 7 \cdot - 3$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 (u^{2} - 3))) = 0$

Этап 8.9.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$u \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot (7 (u^{2} - 3)) = 0$

Этап 8.9.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.2.5.1

Возведем $7$ в степень $1$ .

$u \cdot ((7 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) (u^{2} - 3)) = 0$

Этап 8.9.2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u \cdot (7^{1 + \frac{1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Этап 8.9.2.5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u \cdot (7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Этап 8.9.2.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$u \cdot (7^{\frac{2 + 1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Этап 8.9.2.5.5

Добавим $2$ и $1$ .

$u \cdot (7^{\frac{3}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Этап 8.9.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Этап 8.9.4

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 8.9.5

Приравняем $u^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.5.1

Приравняем $u^{2} - 3$ к $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Этап 8.9.5.2

Решим $u^{2} - 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} = 3$

Этап 8.9.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

Этап 8.9.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \sqrt{3}$

Этап 8.9.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \sqrt{3}$

Этап 8.9.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 8.9.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $u \cdot (7^{\frac{3}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$ верно.

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 8.10

Подставим $y$ вместо $u$ .

$y^{\frac{3}{2}} = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 8.11

Решим относительно $y^{\frac{3}{2}} = 0$ для $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.11.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1.1

Упростим ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.11.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.11.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.11.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.11.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.11.2.1.1.2

Упростим.

$y = 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.11.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.2.1

Упростим $0^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.11.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 8.11.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 8.11.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 0^{2}$

Этап 8.11.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0$

Этап 8.12

Решим относительно $y^{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}$ для $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.12.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.1.1

Упростим ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.12.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.12.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.12.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.12.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.12.2.1.1.2

Упростим.

$y = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.12.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.2.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.12.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}$

Этап 8.12.2.2.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$y = 3^{\frac{2}{2 \cdot 3}}$

Этап 8.12.2.2.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y = 3^{\frac{2}{6}}$

Этап 8.12.2.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = 3^{\frac{2 (1)}{6}}$

Этап 8.12.2.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y = 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Этап 8.12.2.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Этап 8.12.2.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 3^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.12.2.2.1.6

Перепишем $3^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{3}$ .

$y = \sqrt[3]{3}$

Этап 8.13

Перечислим все решения.

$y = 0, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{3}$

Этап 8.14

Исключим решения, которые не делают ${(\sqrt{7 y})}^{3} + y^{3} = 21 (\sqrt{7 y}) y$ истинным.

$y = 0$

Этап 9

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\sqrt{7 y}, 0)$

$(- \sqrt{7 y}, 0)$

Этап 10