Математический анализ Примеры

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Этап 3

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y' + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ на $x + 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ на $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Этап 5.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем $- (2 x + y)$ в виде $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 x + y = 0$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - y$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 x = - y$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - y$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{2}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Этап 8.1.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Этап 8.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Этап 8.1.1.3

Умножим $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Этап 8.1.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Этап 8.1.1.5

Умножим $(- \frac{y}{2}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.5.1

Объединим $y$ и $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

Этап 8.1.1.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

Этап 8.1.1.5.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

Этап 8.1.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

Этап 8.1.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

Этап 8.1.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $\frac{y^{2}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

Этап 8.1.2.2

Умножим $\frac{y^{2}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

Этап 8.1.2.3

Запишем $y^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

Этап 8.1.2.4

Умножим $\frac{y^{2}}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

Этап 8.1.2.5

Умножим $\frac{y^{2}}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Этап 8.1.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Этап 8.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Этап 8.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Этап 8.1.4.2

Перенесем $4$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Этап 8.1.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вычтем $2 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Этап 8.1.5.2

Добавим $- y^{2}$ и $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

Этап 8.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Этап 8.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Объединим.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Этап 8.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Этап 8.3.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Этап 8.3.1.1.3.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

Этап 8.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

Этап 8.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

Этап 8.3.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$y^{2} = 36$

Этап 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

Этап 8.5

Упростим $\pm \sqrt{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

Этап 8.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 6$

Этап 8.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 6$

Этап 8.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 6$

Этап 8.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 6, - 6$

Этап 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{6}{2}$

Этап 9.2

Упростим $- \frac{6}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим $6$ на $2$ .

$x = - 1 \cdot 3$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x = - 3$

Этап 10

Упростим $- \frac{- 6}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим $- 6$ на $2$ .

$x = - - 3$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$x = 3$

Этап 11

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

Этап 12