Математический анализ Примеры

$3 x y = \ln (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$3 (x y' + y)$

Этап 2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x y' + 3 y$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

Этап 5.2

Разделим каждый член $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ на $3 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ на $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{3 x}$ .

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Этап 5.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x^{2}, x, 1$

Этап 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Этап 7.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 7.1.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 7.1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 7.1.6

НОК $3, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 7.1.7

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 7.1.8

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 7.1.9

НОК $x^{2}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 7.1.10

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 7.1.11

НОК $3 x^{2}, x, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{2}$

Этап 7.2

Каждый член в $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ умножим на $3 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ на $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x}$ в числитель.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.4.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.2.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $0 (3 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$1 - 3 y x = 0$

Этап 7.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y x = - 1$

Этап 7.3.2

Разделим каждый член $- 3 y x = - 1$ на $- 3 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Разделим каждый член $- 3 y x = - 1$ на $- 3 y$ .

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Этап 7.3.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Этап 7.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{3 y}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Этап 8.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Этап 8.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Этап 8.1.3.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Этап 8.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Этап 8.1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Этап 8.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

Этап 8.2

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

Этап 8.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

Этап 8.4

Перепишем $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

Этап 8.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ .

$\frac{1}{3 y} = e$

Этап 8.5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 y, 1$

Этап 8.5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 y$

Этап 8.5.3

Каждый член в $\frac{1}{3 y} = e$ умножим на $3 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{3 y} = e$ на $3 y$ .

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

Этап 8.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Этап 8.5.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

Этап 8.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Этап 8.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Этап 8.5.3.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Этап 8.5.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 = e (3 y)$

Этап 8.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.3.1

Перенесем $3$ влево от $e$ .

$1 = 3 e y$

Этап 8.5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1

Перепишем уравнение в виде $3 e y = 1$ .

$3 e y = 1$

Этап 8.5.4.2

Разделим каждый член $3 e y = 1$ на $3 e$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.2.1

Разделим каждый член $3 e y = 1$ на $3 e$ .

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Этап 8.5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Этап 8.5.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Этап 8.5.4.2.2.2

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Этап 8.5.4.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{3 e}$

Этап 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $3$ на $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

Этап 9.2

Упростим $\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Этап 9.2.2

Сократим выражение $\frac{3}{3 e}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Этап 9.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

Этап 9.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = 1 e$

Этап 9.2.4

Умножим $e$ на $1$ .

$x = e$

Этап 10

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(e, \frac{1}{3 e})$

Этап 11