Математический анализ Примеры

$5 x^{3} = - 3 x y + 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 x y + 2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (3 x^{2})$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{2}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 3 x y + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x y$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$- 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 (x y' + y) + 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (x y') - 3 y + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $- 3 x y' - 3 y$ и $0$ .

$- 3 x y' - 3 y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$15 x^{2} = - 3 x y' - 3 y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x y' - 3 y = 15 x^{2}$ .

$- 3 x y' - 3 y = 15 x^{2}$

Этап 5.2

Добавим $3 y$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$ на $- 3 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$ на $- 3 x$ .

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y'}{x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $15$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $15 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{3 (- x)} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{3 (- x)} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{5 x^{2}}{- x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (5 x)}{- x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{5 x}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (5 x) + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot (5 x)$ в виде $- (5 x)$ .

$y' = - (5 x) + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.3.1.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$y' = - 5 x + \frac{3 y}{- 3 x}$

Этап 5.3.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$y' = - 5 x + \frac{3 (y)}{- 3 x}$

Этап 5.3.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$y' = - 5 x + \frac{3 (y)}{3 (- x)}$

Этап 5.3.3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - 5 x + \frac{3 y}{3 (- x)}$

Этап 5.3.3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - 5 x + \frac{y}{- x}$

Этап 5.3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - 5 x - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 5 x - \frac{y}{x}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 7.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 7.2

Каждый член в $- 5 x - \frac{y}{x} = 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим каждый член $- 5 x - \frac{y}{x} = 0$ на $x$ .

$- 5 x \cdot x - \frac{y}{x} x = 0 x$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- 5 (x \cdot x) - \frac{y}{x} x = 0 x$

Этап 7.2.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 5 x^{2} - \frac{y}{x} x = 0 x$

Этап 7.2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x}$ в числитель.

$- 5 x^{2} + \frac{- y}{x} x = 0 x$

Этап 7.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- 5 x^{2} + \frac{- y}{x} x = 0 x$

Этап 7.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- 5 x^{2} - y = 0 x$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$- 5 x^{2} - y = 0$

Этап 7.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- 5 x^{2} = y$

Этап 7.3.2

Разделим каждый член $- 5 x^{2} = y$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Разделим каждый член $- 5 x^{2} = y$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{y}{- 5}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{y}{- 5}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{y}{- 5}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{y}{5}$

Этап 7.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{y}{5}}$

Этап 7.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

Этап 7.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

Этап 7.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

Этап 8

Вычисленные значения $x$ не могут содержать мнимых компонентов.

$\sqrt{- \frac{y}{5}}$ — недопустимое значение для x

Этап 9

Вычисленные значения $x$ не могут содержать мнимых компонентов.

$- \sqrt{- \frac{y}{5}}$ — недопустимое значение для x

Этап 10

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Этап 11