Математический анализ Примеры

$\cot (y) = x - y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $y'$ к обеим частям уравнения.

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $- y' \csc^{2} (y)$ и $y'$ .

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Этап 5.2.3

Перепишем $y'$ в виде $1 y'$ .

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $- y'$ из $1 y'$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $- y'$ из $- y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Этап 5.2.6

Вынесем множитель $- y'$ из $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

Этап 5.2.7

Переставляем члены.

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

Этап 5.2.8

Применим формулу Пифагора.

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- y' \cot^{2} (y) = 1$ на $- \cot^{2} (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- y' \cot^{2} (y) = 1$ на $- \cot^{2} (y)$ .

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $\cot^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ в виде ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ .

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

Этап 5.3.3.4

Выразим $\cot (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

Этап 5.3.3.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

Этап 5.3.3.6

Переведем $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ в $\tan (y)$ .

$y' = - \tan^{2} (y)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- \tan^{2} (y) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим каждый член $- \tan^{2} (y) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan^{2} (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.1.2.2

Разделим $\tan^{2} (y)$ на $1$ .

$\tan^{2} (y) = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\tan^{2} (y) = 0$

Этап 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\tan (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\tan (y) = \pm 0$

Этап 7.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\tan (y) = 0$

Этап 7.4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (0)$

Этап 7.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$y = 0$

Этап 7.6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$y = π + 0$

Этап 7.7

Добавим $π$ и $0$ .

$y = π$

Этап 7.8

Найдем период $\tan (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 7.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 7.8.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7.9

Период функции $\tan (y)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$y = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.10

Объединим ответы.

$y = π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Избавимся от скобок.

$\cot (y) = π n - y$

Этап 9

Solve for $x$ when $y$ is $π n - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $π n$ из обеих частей уравнения.

$π n - y - π n = 0$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $π n - y - π n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $π n$ из $π n$ .

$- y + 0 = 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $- y$ и $0$ .

$- y = 0$

Этап 9.2

Разделим каждый член $- y = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $- y = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 9.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$y = 0$

Этап 10

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, π n - y)$

Этап 11