Математический анализ Примеры

$9 x^{2} + 25 y^{2} = 225$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (9 x^{2} + 25 y^{2}) = \frac{d}{d x} (225)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 25 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 y^{2}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$18 x + 25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$18 x + 25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$18 x + 25 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$18 x + 25 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$18 x + 25 (2 y y')$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $25$ .

$18 x + 50 y y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$50 y y' + 18 x$

Этап 3

Поскольку $225$ является константой относительно $x$ , производная $225$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$50 y y' + 18 x = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $18 x$ из обеих частей уравнения.

$50 y y' = - 18 x$

Этап 5.2

Разделим каждый член $50 y y' = - 18 x$ на $50 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $50 y y' = - 18 x$ на $50 y$ .

$\frac{50 y y'}{50 y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{50 y y'}{50 y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 18 x}{50 y}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 18$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x$ .

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{50 y}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $50 y$ .

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (25 y)}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (25 y)}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 9 x}{25 y}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{9 x}{25 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{25 y}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$9 x = 0$

Этап 7.2

Разделим каждый член $9 x = 0$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $9 x = 0$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{9}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим $0$ на $9$ .

$x = 0$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $9 \cdot 0^{2} + 25 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$9 \cdot 0 + 25 y^{2} = 225$

Этап 8.1.1.2

Умножим $9$ на $0$ .

$0 + 25 y^{2} = 225$

Этап 8.1.2

Добавим $0$ и $25 y^{2}$ .

$25 y^{2} = 225$

Этап 8.2

Разделим каждый член $25 y^{2} = 225$ на $25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $25 y^{2} = 225$ на $25$ .

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{225}{25}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{225}{25}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{225}{25}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим $225$ на $25$ .

$y^{2} = 9$

Этап 8.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9}$

Этап 8.4

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 8.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 3$

Этап 8.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 3$

Этап 8.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 3$

Этап 8.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 3, - 3$

Этап 9

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 3)$

$(0, - 3)$

Этап 10