Математический анализ Примеры

$5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2} = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$10 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$10 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$10 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 y^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y y')$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $7$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 14 y y'$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x - 2 (x y') - 2 y + 14 y y'$

Этап 2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 x - 2 x y' - 2 y + 14 y y'$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x y' + 14 y y' - 2 y = - 10 x$

Этап 5.1.2

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x y' + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 x y' + 14 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 x y'$ .

$2 y' (- x) + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $14 y y'$ .

$2 y' (- x) + 2 y' (7 y) = - 10 x + 2 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- x) + 2 y' (7 y)$ .

$2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ на $2 (- x + 7 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ на $2 (- x + 7 y)$ .

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- x + 7 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10 x$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{y}{- x + 7 y}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 5 x + y}{- x + 7 y}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x$ .

$y' = \frac{- (5 x) + y}{- x + 7 y}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{- (5 x) - 1 (- y)}{- x + 7 y}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Этап 5.3.3.2.5

Перепишем $- (5 x - y)$ в виде $- 1 (5 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Этап 5.3.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) + 7 y}$

Этап 5.3.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $7 y$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) - (- 7 y)}$

Этап 5.3.3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (- 7 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x - 7 y)}$

Этап 5.3.3.2.9

Перепишем $- (x - 7 y)$ в виде $- 1 (x - 7 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Этап 5.3.3.2.10

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Этап 5.3.3.2.11

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$5 x - y = 0$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$5 x = y$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $5 x = y$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = y$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y}{5}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $5 {(\frac{y}{5})}^{2} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{y}{5}$ .

$5 \frac{y^{2}}{5^{2}} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$5 \frac{y^{2}}{25} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.3.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$5 \frac{y^{2}}{5 (5)} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{y^{2}}{5 \cdot 5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2}}{5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.4

Объединим $- 2$ и $\frac{y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{- 2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.6

Умножим $- \frac{2 y}{5} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.6.1

Объединим $y$ и $\frac{2 y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{y (2 y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.6.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.6.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y^{1})}{5} + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{1 + 1}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{2}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Этап 8.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 y^{2} + \frac{y^{2} - 2 y^{2}}{5} = 0$

Этап 8.1.2.2

Вычтем $2 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$7 y^{2} + \frac{- y^{2}}{5} = 0$

Этап 8.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 y^{2} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Этап 8.1.3

Чтобы записать $7 y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$7 y^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Этап 8.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Объединим $7 y^{2}$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7 y^{2} \cdot 5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Этап 8.1.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}}{5} = 0$

Этап 8.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $7 y^{2} \cdot 5$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) - y^{2}}{5} = 0$

Этап 8.1.5.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1}{5} = 0$

Этап 8.1.5.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5 - 1)}{5} = 0$

Этап 8.1.5.2

Умножим $7$ на $5$ .

$\frac{y^{2} (35 - 1)}{5} = 0$

Этап 8.1.5.3

Вычтем $1$ из $35$ .

$\frac{y^{2} \cdot 34}{5} = 0$

Этап 8.1.6

Перенесем $34$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{34 y^{2}}{5} = 0$

Этап 8.2

Приравняем числитель к нулю.

$34 y^{2} = 0$

Этап 8.3

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим каждый член $34 y^{2} = 0$ на $34$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Разделим каждый член $34 y^{2} = 0$ на $34$ .

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Этап 8.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель $34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Этап 8.3.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{34}$

Этап 8.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Разделим $0$ на $34$ .

$y^{2} = 0$

Этап 8.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{0}$

Этап 8.3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 8.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 0$

Этап 8.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 9

Найдем $x$ , когда $y$ равен $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$x = \frac{0}{5}$

Этап 9.2

Разделим $0$ на $5$ .

$x = 0$

Этап 10

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

Этап 11