Математический анализ Примеры

$y + \cos (y) = x + 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (x + 1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y + \cos (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$y' + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$y' - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$y' - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' - \sin (y) y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- \sin (y) y' + y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \sin (y) y' + y' = 1$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- \sin (y) y' + y'$ .

$- y' \sin (y) + y' = 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \sin (y) + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \sin (y)$ .

$y' (- 1 \sin (y)) + y' = 1$

Этап 5.2.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (- 1 \sin (y)) + y' = 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 \sin (y)) + y' \cdot 1 = 1$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 \sin (y)) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 \sin (y) + 1) = 1$

Этап 5.3

Перепишем $- 1 \sin (y)$ в виде $- \sin (y)$ .

$y' (- \sin (y) + 1) = 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (- \sin (y) + 1) = 1$ на $- \sin (y) + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (- \sin (y) + 1) = 1$ на $- \sin (y) + 1$ .

$\frac{y' (- \sin (y) + 1)}{- \sin (y) + 1} = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $- \sin (y) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- \sin (y) + 1)}{- \sin (y) + 1} = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (y)$ .

$y' = \frac{1}{- (\sin (y)) + 1}$

Этап 5.4.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1}{- (\sin (y)) - 1 (- 1)}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (y)) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1}{- (\sin (y) - 1)}$

Этап 5.4.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.4.1

Перепишем $- (\sin (y) - 1)$ в виде $- 1 (\sin (y) - 1)$ .

$y' = \frac{1}{- 1 (\sin (y) - 1)}$

Этап 5.4.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{\sin (y) - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sin (y) - 1}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 7.2

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 8

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Этап 9