Математический анализ Примеры

$x = \cos (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\cos (y))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \sin (y) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \sin (y) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \sin (y) y' = 1$ .

$- \sin (y) y' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \sin (y) y' = 1$ на $- \sin (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \sin (y) y' = 1$ на $- \sin (y)$ .

$\frac{- \sin (y) y'}{- \sin (y)} = \frac{1}{- \sin (y)}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (y) y'}{\sin (y)} = \frac{1}{- \sin (y)}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $\sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (y) y'}{\sin (y)} = \frac{1}{- \sin (y)}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{- \sin (y)}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (y)}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{\sin (y)}$

Этап 5.2.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (y)}$ в $\csc (y)$ .

$y' = - \csc (y)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (y)$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- \csc (y) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим каждый член $- \csc (y) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \csc (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\csc (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.1.2.2

Разделим $\csc (y)$ на $1$ .

$\csc (y) = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\csc (y) = 0$

Этап 7.2

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 8

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Этап 9