Математический анализ Примеры

$y = | x^{2} - 9 |$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - 9 |)$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = x^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Этап 3.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 9$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + 0)$

Этап 3.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x)$

Этап 3.2.4.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |} x$

Этап 3.2.4.3

Объединим $\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |}$ и $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 3.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 3.3.3.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 3.3.3.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Этап 6.2.1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Этап 6.2.1.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Этап 6.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 6.2.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 6.2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 6.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 6.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6.2.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6.2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, - 3, 3$

Этап 6.3

Исключим решения, которые не делают $\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |} = 0$ истинным.

$x = 0$

Этап 7

Упростим $| {(0)}^{2} - 9 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = | 0 - 9 |$

Этап 7.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$y = | - 9 |$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 9$ и $0$ равно $9$ .

$y = 9$

Этап 8

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 9)$

Этап 9