Математический анализ Примеры

$x y = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' = - y$

Этап 5.2

Разделим каждый член $x y' = - y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $x y' = - y$ на $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 7.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 7.2

Каждый член в $- \frac{y}{x} = 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим каждый член $- \frac{y}{x} = 0$ на $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x}$ в числитель.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Этап 7.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Этап 7.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- y = 0 x$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$- y = 0$

Этап 7.3

Разделим каждый член $- y = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $- y = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.3.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$y = 0$

Этап 7.4

Переменная $x$ исключена.

Все вещественные числа

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $l$ в степень $1$ .

$A (l^{1} l) (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Этап 8.1.2

Возведем $l$ в степень $1$ .

$A (l^{1} l^{1}) (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Этап 8.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A l^{1 + 1} (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Этап 8.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$A l^{2} (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Этап 8.1.5

Возведем $l$ в степень $1$ .

$A (l^{1} l^{2}) (r e a) (n u m b e r s) y = 1$

Этап 8.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A l^{1 + 2} (r e a) (n u m b e r s) y = 1$

Этап 8.1.7

Добавим $1$ и $2$ .

$A l^{3} (r e a) (n u m b e r s) y = 1$

Этап 8.1.8

Возведем $r$ в степень $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e (r^{1} r) s) y = 1$

Этап 8.1.9

Возведем $r$ в степень $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e (r^{1} r^{1}) s) y = 1$

Этап 8.1.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A l^{3} (e a) (n u m b e r^{1 + 1} s) y = 1$

Этап 8.1.11

Добавим $1$ и $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e r^{2} s) y = 1$

Этап 8.1.12

Возведем $e$ в степень $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b (e^{1} e) r^{2} s) y = 1$

Этап 8.1.13

Возведем $e$ в степень $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b (e^{1} e^{1}) r^{2} s) y = 1$

Этап 8.1.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A l^{3} (a) (n u m b e^{1 + 1} r^{2} s) y = 1$

Этап 8.1.15

Добавим $1$ и $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b e^{2} r^{2} s) y = 1$

Этап 8.1.16

Умножим $A l^{3}$ на $a$ .

$A l^{3} a (n u m b e^{2} r^{2} s) y = 1$

Этап 8.1.17

Избавимся от скобок.

$A l^{3} a (n u m b e^{2} r^{2}) s y = 1$

Этап 8.1.18

Избавимся от скобок.

$A l^{3} a (n u m b e^{2}) r^{2} s y = 1$

Этап 8.1.19

Избавимся от скобок.

$A l^{3} a (n u m b) e^{2} r^{2} s y = 1$

Этап 8.1.20

Избавимся от скобок.

$A l^{3} a (n u m) b e^{2} r^{2} s y = 1$

Этап 8.1.21

Избавимся от скобок.

$A l^{3} a (n u) m b e^{2} r^{2} s y = 1$

Этап 8.1.22

Избавимся от скобок.

$A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 1$

Этап 8.2

Разделим каждый член $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 1$ на $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 1$ на $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$\frac{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель $l^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a n u m b e^{2} r^{2} s y}{a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a n u m b e^{2} r^{2} s y}{a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{n u m b e^{2} r^{2} s y}{n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.4

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{n u m b e^{2} r^{2} s y}{n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{u m b e^{2} r^{2} s y}{u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.5

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u m b e^{2} r^{2} s y}{u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{m b e^{2} r^{2} s y}{m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.6

Сократим общий множитель $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m b e^{2} r^{2} s y}{m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b e^{2} r^{2} s y}{b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.7

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b e^{2} r^{2} s y}{b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{2} r^{2} s y}{e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.8

Сократим общий множитель $e^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2} r^{2} s y}{e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{2} s y}{r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.9

Сократим общий множитель $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{2} s y}{r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{s y}{s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.10

Сократим общий множитель $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{s y}{s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 8.2.2.10.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Этап 9

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s), \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s})$

Этап 10