Математический анализ Примеры

$y = 2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 + 48 x^{2} + 32 x^{4})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Этап 3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $48$ .

$0 + 96 x + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 x^{4}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$0 + 96 x + 32 (4 x^{3})$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $32$ .

$0 + 96 x + 128 x^{3}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $0$ и $96 x$ .

$96 x + 128 x^{3}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$128 x^{3} + 96 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 128 x^{3} + 96 x$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 128 x^{3} + 96 x$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $32 x$ из $128 x^{3} + 96 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $32 x$ из $128 x^{3}$ .

$32 x (4 x^{2}) + 96 x = 0$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $32 x$ из $96 x$ .

$32 x (4 x^{2}) + 32 x (3) = 0$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $32 x$ из $32 x (4 x^{2}) + 32 x (3)$ .

$32 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Этап 6.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.4

Приравняем $4 x^{2} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $4 x^{2} + 3$ к $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $4 x^{2} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} = - 3$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $4 x^{2} = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Этап 6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Этап 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Этап 6.4.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1

Перепишем $- \frac{3}{4}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Этап 6.4.2.4.1.2

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Этап 6.4.2.4.1.3

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.4.2.4.1.4

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Этап 6.4.2.4.1.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Этап 6.4.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Этап 6.4.2.4.3

Объединим $\frac{i}{2}$ и $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.4.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.4.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.4.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $32 x (4 x^{2} + 3) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 {(0)}^{4}$

Этап 7.2

Избавимся от скобок.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$

Этап 7.3

Упростим $2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 2 + 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $48$ на $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Этап 7.3.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0$

Этап 7.3.1.4

Умножим $32$ на $0$ .

$y = 2 + 0 + 0$

Этап 7.3.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Добавим $2$ и $0$ .

$y = 2 + 0$

Этап 7.3.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$y = 2$

Этап 8

Вычисленные значения $x$ не могут содержать мнимых компонентов.

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$ — недопустимое значение для x

Этап 9

Вычисленные значения $x$ не могут содержать мнимых компонентов.

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ — недопустимое значение для x

Этап 10

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

Этап 11