Математический анализ Примеры

$y = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8)$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 27$ является константой относительно $x$ , производная $- 27 x^{2}$ по $x$ равна $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 27$ .

$36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.4.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

Этап 3.5.2

Добавим $36 x^{2} - 54 x - 36$ и $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $18$ из $36 x^{2} - 54 x - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $18$ из $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $18$ из $- 54 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель $18$ из $- 36$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Этап 6.1.1.4

Вынесем множитель $18$ из $18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Этап 6.1.1.5

Вынесем множитель $18$ из $18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Этап 6.1.2.1.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Этап 6.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Этап 6.1.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Этап 6.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Этап 6.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Этап 6.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Этап 6.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 6.3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 6.3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 6.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 6.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Этап 7

Упростим $12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$y = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = 12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$y = 12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = 4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.5.4

Сократим общий множитель.

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.5.5

Перепишем это выражение.

$y = 3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.6

Объединим $3$ и $\frac{- 1}{2}$ .

$y = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.9.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.11

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.14

Объединим $- 27$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Этап 7.1.16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.16.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Этап 7.1.16.2

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 8$

Этап 7.1.16.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 8$

Этап 7.1.16.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 8$

Этап 7.1.17

Умножим $- 18$ на $- 1$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Этап 7.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Этап 7.2.3

Запишем $18$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 8$

Этап 7.2.4

Умножим $\frac{18}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

Этап 7.2.5

Умножим $\frac{18}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 8$

Этап 7.2.6

Запишем $8$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

Этап 7.2.7

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.2.8

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Этап 7.2.9

Умножим $2$ на $2$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Этап 7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Этап 7.4.2

Умножим $18$ на $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 8 \cdot 4}{4}$

Этап 7.4.3

Умножим $8$ на $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 32}{4}$

Этап 7.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вычтем $27$ из $- 6$ .

$y = \frac{- 33 + 72 + 32}{4}$

Этап 7.5.2

Добавим $- 33$ и $72$ .

$y = \frac{39 + 32}{4}$

Этап 7.5.3

Добавим $39$ и $32$ .

$y = \frac{71}{4}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Избавимся от скобок.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Этап 8.2

Избавимся от скобок.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$y = 12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Этап 8.4

Упростим $12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = 12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Этап 8.4.1.2

Умножим $12$ на $8$ .

$y = 96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Этап 8.4.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 8$

Этап 8.4.1.4

Умножим $- 27$ на $4$ .

$y = 96 - 108 - 36 \cdot 2 + 8$

Этап 8.4.1.5

Умножим $- 36$ на $2$ .

$y = 96 - 108 - 72 + 8$

Этап 8.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Вычтем $108$ из $96$ .

$y = - 12 - 72 + 8$

Этап 8.4.2.2

Вычтем $72$ из $- 12$ .

$y = - 84 + 8$

Этап 8.4.2.3

Добавим $- 84$ и $8$ .

$y = - 76$

Этап 9

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{71}{4})$

$(2, - 76)$

Этап 10