Математический анализ Примеры

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x - 4 \cos (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Этап 3.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \cos (3 x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Этап 3.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Этап 3.3.7

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$12 \sin (3 x) = - 6$

Этап 6.2

Разделим каждый член $12 \sin (3 x) = - 6$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $12 \sin (3 x) = - 6$ на $12$ .

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $\sin (3 x)$ на $1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Этап 6.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Этап 6.5

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.5.3.2

Умножим $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Этап 6.5.3.2.2

Умножим $3$ на $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Этап 6.6

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 6.7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 6.7.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$3 x = \frac{7 π}{6}$

Этап 6.7.3

Разделим каждый член $3 x = \frac{7 π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{7 π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Этап 6.7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Этап 6.7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Этап 6.7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.7.3.3.2

Умножим $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Этап 6.7.3.3.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Этап 6.8

Найдем период $\sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.8.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 6.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 6.9

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к $- \frac{π}{18}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Этап 6.9.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Этап 6.9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Этап 6.9.3.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Этап 6.9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

Этап 6.9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

Этап 6.9.5.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

Этап 6.9.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{18}$

Этап 6.10

Период функции $\sin (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 7

Упростим $6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 7.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 7.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 7.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 7.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 7.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 7.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 7.1.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 7.1.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 7.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 7.1.7.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Этап 7.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Изменим порядок $\frac{7 π}{6}$ и $2 π n$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Этап 7.2.2

Изменим порядок $\frac{7 π}{3}$ и $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Этап 8

Упростим $6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 8.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 8.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 8.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 8.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 8.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Этап 8.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 8.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 8.1.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 8.1.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 8.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Этап 8.1.7.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Этап 8.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Изменим порядок $\frac{11 π}{6}$ и $2 π n$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Этап 8.2.2

Изменим порядок $\frac{11 π}{3}$ и $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Этап 9

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ , для любого целого $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ , для любого целого $n$

Этап 10