Математический анализ Примеры

$y = 9 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 x - 3 x^{2} + x^{3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $9 x - 3 x^{2} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.3

Умножим $9$ на $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$9 - 6 x + 3 x^{2}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 6 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 9 = 0$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9 = 0$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Этап 6.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Этап 6.2

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x^{2} - 2 x + 3$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{3}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Этап 6.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.4

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.7

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Этап 6.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.4

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.7

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Этап 6.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Этап 6.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.4

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.7

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Этап 6.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Этап 6.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Этап 7

Вычисленные значения $x$ не могут содержать мнимых компонентов.

$1 + i \sqrt{2}$ — недопустимое значение для x

Этап 8

Вычисленные значения $x$ не могут содержать мнимых компонентов.

$1 - i \sqrt{2}$ — недопустимое значение для x

Этап 9

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Этап 10