Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2}$ , $a = 1$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 1$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Этап 3

Найдем значение $f (1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим ${(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

${(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 {(1)}^{2}$

Этап 3.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 \cdot 1$

Этап 3.2.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 3$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$4$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = x^{4} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 3 (2 x)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$4 x^{3} + 6 x$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$4 {(1)}^{3} + 6 (1)$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1 + 6 (1)$

Этап 4.3.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 6 (1)$

Этап 4.3.1.3

Умножим $6$ на $1$ .

$4 + 6$

Этап 4.3.2

Добавим $4$ и $6$ .

$10$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = 4 + 10 (x - 1)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L (x) = 4 + 10 x + 10 \cdot - 1$

Этап 6.1.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$L (x) = 4 + 10 x - 10$

Этап 6.2

Вычтем $10$ из $4$ .

$L (x) = 10 x - 6$

Этап 7