Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 2$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

Этап 3

Найдем значение $f (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Этап 3.2

Упростим $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Этап 3.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 21}$

Этап 3.2.3

Добавим $4$ и $21$ .

$\sqrt{25}$

Этап 3.2.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$5$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 21}$ в виде ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 21$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Этап 4.1.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 21$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

Этап 4.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

Этап 4.1.10

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 4.1.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 4.1.11.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 4.1.11.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.11.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.11.5

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.2

Добавим $4$ и $21$ .

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{5^{1}}$

Этап 4.3.6

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{5}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Этап 6.1.3

Умножим $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Этап 6.1.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Этап 6.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Этап 6.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Этап 6.3

Объединим $5$ и $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $5$ на $5$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

Этап 6.5.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

Этап 7