Математический анализ Примеры

$\sin (2 x)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Этап 1.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 \cos (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \cos (2 x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $2 \cos (2 x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.1.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Этап 2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Этап 2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (0)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 2.4

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.6.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.6.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.6.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.6.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.6.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.7

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.8

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = \sin (2 x)$ в точке $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 3.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = \sin (2 x)$ в точке $x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 4.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Этап 4.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

Этап 4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

Этап 4.2.4.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Этап 4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 4.2.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Этап 4.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1$

Этап 4.2.9

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = \sin (2 x)$ : $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Этап 6