Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 3 x$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1$

Этап 2.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$3 x^{2} - 3$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 3$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = 3$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 3$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $3$ на $3$ .

$x^{2} = 1$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 3 x$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 3$

Этап 4.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (1) = - 2$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 3 x$ в точке $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 3 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3$

Этап 5.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- 1) = 2$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{3} - 3 x$ ― $y = - 2, y = 2$ .

$y = - 2, y = 2$

Этап 7