Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} - 10 x + 3$ и $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Этап 3.1.1.2

Запишем $- 10$ как $- 1$ плюс $- 9$

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

Этап 3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 3.3.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 3.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 3.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ в точке $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2.1.7

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2.1.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.9.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.2.1.9.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

Этап 4.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{5}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{5}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

Этап 4.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

Этап 4.2.2.4

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Этап 4.2.2.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

Этап 4.2.2.6

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

Этап 4.2.2.7

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 4.2.2.8

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.2.2.9

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $15$ из $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

Этап 4.2.4.3

Добавим $- 14$ и $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

Этап 4.2.4.4

Добавим $13$ и $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ в точке $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Этап 5.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 5$ на $9$ .

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $45$ из $27$ .

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 18$ и $9$ .

$f (3) = - 9 + 1$

Этап 5.2.2.3

Добавим $- 9$ и $1$ .

$f (3) = - 8$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 8$ .

$- 8$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ ― $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

Этап 7