Математический анализ Примеры

$y (x) = x^{4} - 4 x + 4$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$4 x^{3} - 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 4 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $4 x^{3} - 4$ и $0$ .

$4 x^{3} - 4$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{3} = 4$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} - 4 = 0$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 = 0$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 1) = 0$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3}) + 4 (- 1)$ .

$4 (x^{3} - 1) = 0$

Этап 2.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$4 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Этап 2.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 2.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Этап 2.3.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Этап 2.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.6.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.6.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = x^{4} - 4 x + 4$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 \cdot 1 + 4$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 4$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 4$

Этап 3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (1) = - 3 + 4$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$f (1) = 1$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 4

Касательная не может быть найдена в несобственной точке. Точки $x = 1$ не существует в реальной системе координат.

Касательную невозможно найти на основе корня $1$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{4} - 4 x + 4$ ― $y = 1$ .

$y = 1$

Этап 6