Математический анализ Примеры

y = x^{4} - 4 x^{2} + 1

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Этап 1

Примем

y

$y$ как функцию

x

$x$ .

f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная

x^{4} - 4 x^{2} + 1

$x^{4} - 4 x^{2} + 1$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 4

$n = 4$ .

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку

- 4

$- 4$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 4 x^{2}

$- 4 x^{2}$ по

x

$x$ равна

- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим

2

$2$ на

- 4

$- 4$ .

4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку

1

$1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

1

$1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

4 x^{3} - 8 x + 0

$4 x^{3} - 8 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим

4 x^{3} - 8 x

$4 x^{3} - 8 x$ и

0

$0$ .

4 x^{3} - 8 x

$4 x^{3} - 8 x$

4 x^{3} - 8 x

$4 x^{3} - 8 x$

4 x^{3} - 8 x

$4 x^{3} - 8 x$

Этап 3

Приравняем производную к

0

$0$ , затем найдем решение уравнения

4 x^{3} - 8 x = 0

$4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель

4 x

$4 x$ из

4 x^{3} - 8 x

$4 x^{3} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель

4 x

$4 x$ из

4 x^{3}

$4 x^{3}$ .

4 x (x^{2}) - 8 x = 0

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель

4 x

$4 x$ из

- 8 x

$- 8 x$ .

4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель

4 x

$4 x$ из

4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

4 x (x^{2} - 2) = 0

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

4 x (x^{2} - 2) = 0

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x^{2} - 2 = 0

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 3.3

Приравняем

x

$x$ к

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Этап 3.4

Приравняем

x^{2} - 2

$x^{2} - 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем

x^{2} - 2

$x^{2} - 2$ к

0

$0$ .

x^{2} - 2 = 0

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 3.4.2

Решим

x^{2} - 2 = 0

$x^{2} - 2 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

x^{2} = 2

$x^{2} = 2$

Этап 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{2}

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения

\pm

$\pm$ найдем первое решение.

x = \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение

\pm

$\pm$ , найдем второе решение.

x = - \sqrt{2}

$x = - \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых

4 x (x^{2} - 2) = 0

$4 x (x^{2} - 2) = 0$ верно.

x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию

f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ в точке

x = 0

$x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

0

$0$ .

f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.2.1.2

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Этап 4.2.1.3

Умножим

- 4

$- 4$ на

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 + 1

$f (0) = 0 + 0 + 1$

f (0) = 0 + 0 + 1

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим

0

$0$ и

0

$0$ .

f (0) = 0 + 1

$f (0) = 0 + 1$

Этап 4.2.2.2

Добавим

0

$0$ и

1

$1$ .

f (0) = 1

$f (0) = 1$

f (0) = 1

$f (0) = 1$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ:

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

1

$1$

Этап 5

Решим исходную функцию

f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ в точке

x = \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перепишем

{\sqrt{2}}^{4}

${\sqrt{2}}^{4}$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в виде

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

4

$4$ .

f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4

Сократим общий множитель

4

$4$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.4.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

4

$4$ .

f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2

$2$ .

f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4.2.4

Разделим

$2$ на

$1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.2

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.3

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Этап 5.2.1.3.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Этап 5.2.1.3.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Этап 5.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Этап 5.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим

$- 4$ на

$2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем

$8$ из

$4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

Этап 5.2.2.2

Добавим

$- 4$ и

$1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 3$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ:

$- 3$ .

$- 3$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ ―

$y = 1, y = - 3, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

Этап 7