Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 8 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4 x^{3} - 8 x$ и $0$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x^{2} - 2) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ в точке $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Этап 5.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Этап 5.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Этап 5.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Этап 5.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 3$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ ― $y = 1, y = - 3, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

Этап 7