Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 2 x + 1$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 2 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4 x^{3} - 2$ и $0$ .

$4 x^{3} - 2$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{3} = 2$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} - 2 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

Этап 3.4

Разделим каждый член $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $2 x^{3} - 1$ на $1$ .

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Этап 3.5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{3} = 1$

Этап 3.6

Разделим каждый член $2 x^{3} = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $2 x^{3} = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Этап 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Этап 3.8

Упростим $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 3.8.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 3.8.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.8.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.8.4.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.8.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 3.8.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 3.8.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.8.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.8.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.8.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.8.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 3.8.4.5.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 3.8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 3.8.5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ в точке $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{4}$ в виде $\sqrt[3]{4^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.2.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.2.3

Перепишем $256$ в виде $4^{3} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $64$ из $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.2.3.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Этап 4.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Этап 4.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Этап 4.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

Этап 4.2.1.6

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{4}$ в виде $- \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- \sqrt[3]{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Этап 4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим $- \sqrt[3]{4}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Этап 4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Этап 4.2.4.1.2

Вычтем $4 \sqrt[3]{4}$ из $\sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Этап 4.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ : $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Десятичная форма:

$y = - 0.19055078 \dots$

Этап 7