Математический анализ Примеры

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

Этап 1

Упростим $1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $1$ .

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

Этап 1.2

Изменим порядок $40 x^{3}$ и $- 3 x^{5}$ .

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Этап 2

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{5}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40 x^{3}$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $40$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ и $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $15 u$ из $- 15 u^{2} + 120 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $15 u$ из $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 120 u = 0$

Этап 4.1.3.2

Вынесем множитель $15 u$ из $120 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u (- u) + 15 u (8)$ .

$15 u (- u + 8) = 0$

Этап 4.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 4.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4.4

Приравняем $- x^{2} + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $- x^{2} + 8$ к $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $- x^{2} + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 8$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 8$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Этап 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Этап 4.4.2.4

Упростим $\pm \sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Этап 4.4.2.4.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 4.4.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 4.4.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 \sqrt{2}$

Этап 4.4.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.4.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ верно.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Этап 5.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим $40$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6

Решим исходную функцию $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ в точке $x = 2 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2.1.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{5}$ в виде $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2.1.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2.1.5

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2.1.5.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2.1.7

Умножим $4$ на $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2.1.8

Умножим $128$ на $- 3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 6.2.1.9

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Этап 6.2.1.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Этап 6.2.1.11

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Этап 6.2.1.12

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

Этап 6.2.1.13

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.13.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Этап 6.2.1.13.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Этап 6.2.1.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Этап 6.2.1.15

Умножим $2$ на $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

Этап 6.2.1.16

Умножим $16$ на $40$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

Этап 6.2.2

Добавим $- 384 \sqrt{2}$ и $640 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $256 \sqrt{2} + 1$ .

$256 \sqrt{2} + 1$

Этап 7

Решим исходную функцию $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ в точке $x = - 2 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{5}$ в виде $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2.1.5

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.5.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2.1.5.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2.1.7

Умножим $4$ на $- 32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2.1.8

Умножим $- 128$ на $- 3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Этап 7.2.1.9

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Этап 7.2.1.10

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Этап 7.2.1.11

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Этап 7.2.1.12

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

Этап 7.2.1.13

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.13.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Этап 7.2.1.13.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Этап 7.2.1.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Этап 7.2.1.15

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

Этап 7.2.1.16

Умножим $- 16$ на $40$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

Этап 7.2.2

Вычтем $640 \sqrt{2}$ из $384 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 256 \sqrt{2} + 1$ .

$- 256 \sqrt{2} + 1$

Этап 8

Горизонтальные касательные функции $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ ― $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

Этап 9