Математический анализ Примеры

$y = - 5 x^{2} - 2 x$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 5 x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 10 x - 2 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 10 x - 2$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 x - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- 10 x = 2$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- 10 x = 2$ на $- 10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- 10 x = 2$ на $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{2}{- 10}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{2}{- 10}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{- 10}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{- 10}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{- 5}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{5}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$ в точке $x = - \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 {(- \frac{1}{5})}^{2} - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{5^{2}})) - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 (1 (\frac{1^{2}}{5^{2}})) - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 \frac{1^{2}}{5^{2}} - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 \frac{1}{5^{2}} - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 (\frac{1}{25}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (- \frac{1}{5}) = 5 (- 1) (\frac{1}{25}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.6.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (- \frac{1}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{1}{5 \cdot 5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{1}{5 \cdot 5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{5}) = - 1 (\frac{1}{5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.7

Перепишем $- 1 (\frac{1}{5})$ в виде $- (\frac{1}{5})$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - (\frac{1}{5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.8

Умножим $- 2 (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{5} + 2 (\frac{1}{5})$

Этап 4.2.1.8.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$

Этап 4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{- 1 + 2}{5}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5}$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$ : $y = \frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5}$

Этап 6