Математический анализ Примеры

$y = 4 x - 3 x^{2}$

Этап 1

Изменим порядок $4 x$ и $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 4 x$

Этап 2

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 x + 4 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$- 6 x + 4$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 x + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x = - 4$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 6 x = - 4$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 6 x = - 4$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 6}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$x = \frac{- 2 (2)}{- 6}$

Этап 4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{3}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ в точке $x = \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 4 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{4}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (- 1) (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{3}) = - 1 (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{4}{3})$ в виде $- (\frac{4}{3})$ .

$f (\frac{2}{3}) = - (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.1.6

Умножим $4 (\frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Объединим $4$ и $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Этап 5.2.1.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{8}{3}$

Этап 5.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4 + 8}{3}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 4$ и $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 6

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ : $y = \frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Этап 7